Germán Jesús Rubio Luna   " g.j.rubio@telefonica.net " Catedrático de Matemáticas del IES Francisco Ayala de Granada

    Ejercicio nş 1 de la opción A de junio de 2004 (Modelo 6)

De la función f : (-1,+∞ ) → R se sabe que f '(x) = 3/(x +1)2 y que f(2) = 0.

(a) [1'25 puntos] Determina f.

(b) [1'25 puntos] Halla la primitiva de f cuya gráfica pasa por el punto (0,1).

Solución

(a)

f '(x) = 3/(x +1)2 con f(2) = 0.

Por el Teorema fundamental del Cálculo integral tenemos que

f(x) = ò f ‘(x) dx = ò 3/(x +1)2 dx = 3.ò (x +1) - 2 dx = [3. (x +1) – 2+1] /(- 2+ 1) + K = -3/(x+1) + K

Como f(2) = 0, tenemos 0 = -3/(2+1) + K = -3/3 + K = -1 + K, de donde K = 1, y la función es

f(x) = -3/(x+1) + 1

(b)

Una primitiva de f(x) es F(x) = ò f(x) dx= ò [-3/(x+1) + 1] dx = -3.Ln|x+1| + x + H

Como pasa por (0,1) tenemos 1 = -3.Ln|0+1| + 0 + H = -3.0 + H = H, es decir H = 1 y la primitiva pedida es F(x) = -3.Ln|x+1| + x + 1