Ejercicio n° 1 de la opción B de junio de 2004 (Modelo 6)
Ejercicio n° 1 de la opción B de junio de 2004 (Modelo 6)
Se sabe que la función f : (-1,+ ∞) → R definida por
f(x) = 
es continua en (-1,+∞).
(a) [1'25 puntos] Halla el valor de a.żEs f derivable en x = 0?
(b) [1'25 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f.
Solución
f(x) =
(a)
Como nos dicen que es continua en su dominio, es continua en 0, es decir
f(0) = 
f(x) = 
f(x)
f(0) = f(x) = 
= a/1 = a
f(x) = (x2 – 4x + 3) = 3
Como han de ser iguales tenemos que a = 3, y nuestra función es
f(x) = 
La función es derivable en su dominio, salvo quizás en el 0
Su derivada, salvo en el cero es
f ‘(x) = 
= 
Para que exista f ‘(0), ha de ser f ‘(0+) = f ‘(0-)
f ‘(0+) = f ‘(x) = 
= -3
f ‘(0-) = 
f ‘(x) = (2x – 4 ) = -4
Como f ‘(0+) ¹ f ‘(0-), no existe f ‘(0)
(b)
La monotonía (crecimiento y decrecimiento) sale del estudio de f ‘(x)
Si –1 < x < 0, f ‘(x) = 2x – 4
Igualando a cero f '(x), tenemos 2x – 4 = 0, de donde x = 2, que no está en el intervalo –1 < x < 0.
En –1 < x < 0, como f ‘(- 0’5) = 2(-0’5) – 4 < 0, f(x) es decreciente en –1 < x < 0
Si x > 0, f ‘(x) =
Igualando a cero f'(x), tenemos x2 + 2x – 3 = 0, de donde x = 1 o x = - 3. (Solo nos interesa x = 1, porque la función en esta rama está definida para x > 0)
Como f ‘( 0’5) = 2(0’5) – 3 < 0, f(x) es decreciente en 0 < x < 1
Como f ‘( 2) = 2(2) – 3 > 0, f(x) es creciente en x > 1
Por definición x = 1 es un mínimo relativo, que vale f(1) = 4/2 = 1/2