Ejercicio n° 2 de la opción A de junio de 2004 (Modelo 6)
Ejercicio n° 2 de la opción A de junio de 2004 (Modelo 6)
Considera la función f : R → R definida por f(x) = (x+1)(x-1)(x-2).
(a) [1 punto] Halla las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 1.
(b) [1'5 puntos] Determina los intervalos de concavidad y de convexidad de f. ¿Tiene puntos de inflexión la gráfica de f?
Solución
(a)
La recta tangente en x = 1 es y – f(1) = f ‘(1).(x – 1)
La recta normal en x = 1 es y – f(1) = [-1/f ‘(1)].(x – 1)
f(x) = (x+1)(x-1)(x-2), luego f(1) = 0
f ‘(x) = (x-1)(x-2) +(x+1)(x-2) + (x+1)(x-1), luego f ‘(1) = 0 + 2(-1) + 0 = - 2, por tanto
La recta tangente en x = 1 es y – 0 = -2.(x – 1)
La recta normal en x = 1 es y – 0 = [-1/(-2)].(x – 1) = 1/2.(x – 1)
(b)
El estudio de la curvatura es el estudio de f ‘’(x)
f ‘(x) = (x-1)(x-2) +(x+1)(x-2) + (x+1)(x-1)
f ‘’(x) = (x-2) + (x-1) +(x-2) + (x+1) + (x-1) + (x+1) = 6x – 4
De f ‘’(x) = 0, tenemos 6x – 4 = 0, de donde x = 4/6, que es el posible punto de inflexión.
Como f ‘’(0) = - 4 < 0, f(x) es cóncava (∩) en (-
∞ , 4/6)Como f ‘’(1) = 2 > 0, f(x) es convexa (U) en ( 4/6, + ∞ )
Por definición, x = 4/6 es el punto de inflexión, y su valor es f(4/6) = f(2/3) = 20/27