[2'5 puntos] Determina b sabiendo que b > 0 y que e! área de la región limitada por la curva y = x² y la recta y = 6x es igual a 9/2.

Solución

Las gráficas de y = x² e y = bx con b > 0, son conocidas. La primera es una parábola que tiene de vértice el punto (0,0) y las ramas hacia arriba y la segunda es una recta que pasa por el origen (0,0)

Viendo la gráfica el área 9/2 = (recta – parábola)dx

Los limites de integración se obtienen resolviendo la ecuación x² = bx, de donde x² – bx = 0, es decir

x(x – b ) = 0, de donde obtenemos x = 0 y x = b

área = 9/2 = (bx – x²)dx = = b³/2 – b³/3 = b³/6

Igualando tenemos 9/2 = b³/6, de donde b³ = 27 = 3³, luego b = 3.