Considera el sistema de ecuaciones

mx - y = 1

x - my = 2m -1

(a) [1'5 puntos] Clasifica el sistema según los valores de m.

(b) [1 punto] Calcula los valores de m para los que el sistema tiene una solución en la que x = 3.

Dado el sistema de ecuaciones

mx - y = 1

x - my = 2m –1

Su matriz de los coeficientes es A = y su matriz ampliada es A^* = .

En A tenemos det(A) = - m² + 1.

Igualando a 0 resulta m² = 1, de donde m = 1 o m = -1.

Aplicando el Teorema de Rouche, si m ≠ 1 o m ≠ -1, rango(A) = rango(A^*) = 2, y el sistema es compatible y determinado, teniendo una única solución

Si m = 1

Tenemos A = y su matriz ampliada es A^* =

En A , rango(A) = 1, pues tiene dos columnas iguales

En A^* , rango(A^*) = 1, pues tiene dos filas iguales

Aplicando el Teorema de Rouche, como rango(A) = rango(A^*) = 1, el sistema es compatible e indeterminado, con lo cual tiene infinitas soluciones

Si m = - 1

Tenemos A = y su matriz ampliada es A^* =

En A , rango(A) = 1, pues tiene dos filas iguales

En A^* , como = 3 – 1 = 2 ≠ 0, tenemos que rango(A^*) = 2.

Aplicando el Teorema de Rouche, como rango(A) = 1 ≠ rango(A^*) = 2, el sistema es incompatible y por tanto no tiene solución.

(b)

Vamos a calcular m en el sistema para que la x valga 3

Nuestro nuevo sistema sería

3m - y = 1

3 - my = 2m –1

Despejando y de la 1ª ecuación tenemos y = 3m - 1

Entrando con esta ecuación en la 2ª tenemos 3 – m(3m – 1) = 2m –1. Operando tenemos

3m² + m – 4 = 0, de donde m = 1 y m = -4/3.

Por tanto para m = 1 o para m = -4/3 tenemos al menos una solución donde la x vale 3.