Ejercicio n° 4 de la opción A de junio de 2004 (Modelo 6)
Ejercicio n° 4 de la opción A de junio de 2004 (Modelo 6)
Sean los puntos A(1, 2, 1), B(2, 3, 1), C(0, 5,3) y D(-1, 4,3).
(a) [1 punto] Prueba que los cuatro puntos están en el mismo plano. Halla la ecuación de dicho plano.
(b) [0'75 puntos] Demuestra que el polígono de vértices consecutivos ABCD es un rectángulo.
(c) [0'75 puntos] Calcula el área de dicho rectángulo.
Solución
A(1, 2, 1), B(2, 3, 1), C(0, 5,3) y D(-1, 4,3).
(a)
Para ver que los cuatro puntos están en un mismo plano una forma de hacerlo es, calcular un plano con tres de ellos y después comprobar que el cuarto pertenece a dicho plano.
Plano que pasa por A, B y C. Tomo como punto el A y como vectores el AB y el AC
A(1,2,1)
AB = (1,1,0)
AC = (-1,3,2)
π
ABC ≡
= 0 = (x – 1)(2) – (y – 2)(2) + (z – 1)(4) = 2x – 2y + 4z – 2 = 0
Veamos si D(-1,4,3) pertenece a dicho plano
Como 2(-1) – 2(4) + 4(3) – 2 = - 2 – 8 + 12 = 0, D pertenece al plano y los cuatro puntos son coplanarios.
(b)
Para que el polígono ABCD sea un rectángulo tiene que verificarse que sus lados son paralelos y perpendiculares, es decir:
||AD|| = ||BC||, ||DC|| = ||AB||, AD
⊥ AB y DC ⊥ CB (⊥ quiere decir ortogonal o perpendicular)AD = (-2,2,2) , luego ||AD|| = 
= 
BC = (-2,-2,-2) , luego ||BC|| = = , por tanto ||AD|| = ||BC||
DC = (1,-1,0) , luego ||DC|| = 
= 
AB = (1,1,0) , luego ||AB|| = = , por tanto |DC|| = ||AB||
AD = (-2,2,2)
AB = (1,1,0)
Como AD•AB = -2 + 2 = 0, resulta que AD ⊥ AB(• es el producto escalar)
DC = (1,-1,0)
CB = (2,2,2)
Como DC•CB = +2 - 2 = 0, resulta que DC ⊥ CB(• es el producto escalar)
Por tanto el polígono ABCD es un rectángulo.
(c)
El área de un paralelogramo es el módulo del producto vectorial de dos vectores que salgan de un mismo vértice, es nuestro caso:
Área rectángulo = ||ABxAD||
AB = (1,1,0)
AD = (-2,2,2)
ABxAD = 
= i(2) – j(2) + k(4) = (2,-2,4), luego
Área rectángulo = ||ABxAD|| = 
= 
u.a. (unidades de área)