Ejercicio n° 4 de la opción B de junio de 2004 (Modelo 6)
Ejercicio n° 4 de la opción B de junio de 2004 (Modelo 6)
[2'5 puntos] Dados los vectores u = (2, 1, 0) y v =(-1, 0, 1), halla un vector unitario w que sea coplanario con u y v y ortogonal a v.
Solución
u = (2, 1, 0) y v =(-1, 0, 1)
Un vector que sea coplanario con u y v es una combinación lineal de ellos, por ejemplo el vector t = u + λv = (2, 1, 0) + λ.(-1, 0, 1) = (2 - λ , 1, λ )
Como tiene que ser perpendicular a v su producto escalar es cero, es decir t•v = 0
t•v = 0 = - 2 + λ
+ 0 + λ
= - 2 + 2λ
= 0, de donde λ
= 1, por tanto un vector coplanario con u y v, y además perpendicular a v es t = (2 – (1), 1, (1)) = (1,1,1). Como también nos piden que se unitario, un vector podría ser el vector w = t/(||t||) = 
, puesto que ||t|| = 
=
.
Otro sería - w = - t/(||t||) = 
Otra forma de hacerlo (Javier Costillo)
Sea 
el vector pedido.
Por ser coplanario con 
y
Por ser ortogonal a 
Por ser unitario
Obtenemos así un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas que NO es lineal.
Para resolverlo, podemos despejar z en la segunda ecuación e y en la primera y sustituir en la tercera para calcular x:
Obtenemos así dos vectores que cumplen las condiciones pedidas:
y 