Ejercicio 4 de la Opción B del modelo 3 de 2005
Ejercicio 4 de la Opción B del modelo 3 de 2005
Considera las rectas r
≡
y s
≡
x/2 = y – 1 = z/3.
(a) [1’25 puntos] Halla la ecuación del plano
π que contiene a s y es paralelo a r.(b) [1’25 puntos] Calcula la distancia de la recta r al plano π .
Solución
(a)
r
≡
y s
≡
x/2 = y – 1 = z/3. De cada recta tomo un punto y un vector director. Antes pongo la recta r en paramétricas. Tomo x = t, con lo cual y = - 1 + t y z = 2 – t por tanto
r
≡
De r punto A(0, -1, 2) y vector director u = (1, 1, -1) y el vector v = (2, 1, 3) son linealmente independientes.
De s punto B(0, 1, 0) y vector director v = (2, 1, 3)
Como 1/2 ≠ 1/1, los vectores u = (1, 1, -1) y
De s punto B(0, 1, 0) y vector director v = (2, 1, 3)
Como piden el plano π que contiene a la recta s y es paralelo a la recta r tomo como punto un punto de la recta s, el B, y como vectores el de s, el v, y el de la recta r, el u.
π
≡
det(BX,.v, u) = 
= (x)(-4) – (y
– 1)(-5) + (z)(1) = – 4x + 5y + z – 5 = 0.
(b)
Para calcular la distancia de la recta r al plano π , al ser el plano p paralelo a la recta r, solo hay que calcular la distancia de un punto cualquiera de la recta r, el A, al plano π , porque r es paralela a π
Trazo la recta t perpendicular al plano π por el punto A(0,1, -2). El vector director de la recta t es el vector normal del plano π , n = (-4, 5, 1)
Recta t
≡
, con m ∈ R
El punto Q es la intersección de la recta t con el plano π
-4(-4m) + 5(-1+5m) + (2+m) – 5 = 0, de donde 42m = 8, y m = 4/21. Luego el punto Q es
Q( -4(4/21), -1 + 5(4/21), 2 + (4/21) ) = Q(– 16/21, – 1/21, 46/21)
AQ = (– 16/21 – 0, – 1/21 – ( -1), 41/21 – 2) = (– 16/21, 20/21, – 4/21)
d(r, π
) = d(A,Q) = ||AQ|| = 
Podemos hacerlo también directamente aplicando la fórmula de la distancia de un punto a un plano
d(r, π
) = 