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a) Duración: 1 hora y 30 minutos. b) Tienes que elegir entre realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción A o bien realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción B. c) La puntuación de cada pregunta está indicada en las mismas. d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara. e) Puedes usar calculadora (puede ser programable o tener pantalla gráfica), pero todos los procesos conducentes a la obtención de resultados deben estar suficientemente justificados. |
modelo 4 de sobrantes de 2005 - Opción A |
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Ejercicio 1. Sea f : R → R la función definida por f (x) = (5x + 8) / (x2 + x + 1). (a) [0’5 puntos] Calcula los puntos de corte de la gráfica de f con los ejes coordenados. (b) [0’5 puntos] Halla las asíntotas de la gráfica de f . (c) [1 punto] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f y calcula sus extremos relativos o locales (puntos en los que se obtienen y valores que alcanza la función). (d) [0’5 puntos] Esboza la gráfica de f . Ejercicio 2. Considera la función f : R → R definida por f (x) = x2 − 5x + 4. (a) [0’75 puntos] Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 3. (b) [1’75 puntos] Calcula el área de la región acotada que esta limitada por el eje de ordenadas, por la gráfica de f y por la recta tangente obtenida. Ejercicio
3. Sea I la matriz identidad de orden 2 y sea A = (a) [1 punto] Halla los valores de x para los que la matriz A − xI no tiene inversa. (b) [1’5 puntos] Halla los valores de a y b para los que A2 + aA + bI = O. Ejercicio
4.- [2’5 puntos] Calcula la distancia entre las rectas r
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modelo 4 de sobrantes de 2005 - Opción B |
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Ejercicio 1. [2’5 puntos] De un terreno se desea vender un solar rectangular de 12.800 m2 dividido en tres parcelas iguales como las que aparecen en el dibujo. Si se quieren vallar las lindes de las tres parcelas (los bordes y las separaciones de las parcelas), determina las dimensiones del solar para que la longitud de la valla utilizada sea mínima.
Ejercicio 2. Calcula las siguientes integrales: (a) [0’5 puntos] ò cos (5x + 1) dx. (b) [0’5 puntos] (c) [1’5 puntos] Ejercicio 3. Considera el sistema de ecuaciones 5x + 2y − z = 0 x + y + (m + 4)z = my 2x − 3y + z = 0 (a) [1 punto] Determina los valores del parámetro m para los que el sistema tiene una única solución. (b) [1’5 puntos] Resuelve el sistema cuando tenga infinitas soluciones y da una solución en la que z = 19. Ejercicio 4. Sean A(−3, 4, 0), B(3, 6, 3) y C (−1, 2, 1) los vértices de un triángulo. (a) [0’75 puntos] Halla la ecuación del plano π que contiene al triangulo. (b) [0’75 puntos] Halla la ecuación de la recta que es perpendicular a π y pasa por el origen de coordenadas. (c) [1 punto] Calcula el área del triángulo ABC . |
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