Ejercicio 1 de la Opción A del modelo 5 de 2005
Ejercicio 1 de la Opción A del modelo 5 de 2005
Se sabe que la gráfica de la función f : R → R definida por f (x)= x3 + ax+ bx + c es la que aparece en el dibujo.
(a) [1’25 puntos] Determina f .
(b) [1’25 puntos] Calcula el área de la región sombreada.
Solución
De la gráfica de f (x)= x3 + ax+ bx + c observamos que f(-2) = 0, f(1) = 0, y que f tiene un mínimo en x = 1, y como es derivable tenemos que f ‘(1) = 0
f (x)= x3 + ax+ bx + c
f ‘(x)= x3 + ax+ bx + c
De f ‘(1) = 0, tenemos 0 = 3 + 2a + b
De f (1) = 0, tenemos 0 = 1 + a + b + c
De f (-2) = 0, tenemos 0 = - 8 + 4a - 2b +c
Resolvemos el sistema siguiente para obtener los valores de a, b y c
a + b + c = - 1 a + b + c = - 1 a + b + c = - 1
2a + b = - 3 2ª + 1ª(-2) - b – 2c = - 1 - b – 2c = - 1
8 + 4a - 2b + c = 8 3ª + 1ª(-4) -6b – 3c = 12 3ª + 2ª(-6) 9c = 18
De donde c = 2, b = -3 y a = 0
Luego la función es f (x)= x3 -3x + 2
(b)
El área de la región sombreada es
Área = 
=
= [ (1/4 – 3/2 +2 ) – ( 4 – 6 – 4) ] = 27/4 u2