Germán Jesús Rubio Luna   " g.j.rubio@telefonica.net "    Catedrático de Matemáticas del IES Francisco Ayala de Granada 

    Ejercicio 2 de la Opción A del modelo 5 de 2005

 Sea f la función definida para x ≠ 2 por f (x) = (x2 − 4x + 3) / (x − 2 )
(a) [1 punto] Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de f .
(b) [0’75 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f .
(c) [0’75 puntos] Calcula, si existen, el máximo y el mínimo absolutos de f en el intervalo [0, 2) (puntos en los que se obtienen y valores que alcanza la función).

Solución

f (x) = (x2 − 4x + 3) / (x − 2 )

(a)

Asíntotas

Como , la recta x = 2 es una asíntota vertical (A.V.) de la gráfica de f

, para ver la posición relativa.

f(x) = (x2 − 4x + 3) / (x − 2 tiene una asíntota oblicua (A.O.) y = mx + n, y es la misma en +∞ y en - ∞ por ser un cociente de polinomios con el numerador un grado mas que el denominador.

m =

n =

La asíntota oblicua es y = mx + n = x – 2

Como , f(x) está por debajo de la A.O. y = x - 2 en +∞

Como , f(x) está por encima de la A.O. y = x - 2 en - ∞

(b)

Monotonía. Estudiamos la primera derivada f ‘(x)

f(x) = (x2 − 4x + 3) / (x − 2 )

f ‘(x) = [ (2x - 4)(x – 2) – (x2 − 4x + 3)(1)] ] / (x – 2)2 = (x2 – 4x + 5) / (x – 1)2 .

Resolviendo f ‘(x) = 0, tenemos x2 – 4x + 5= 0, que no tiene soluciones reales luego no tiene ni máximos ni mínimos relativos.

Como f ‘(0) = 5/4 > 0, la función f(x) siempre es creciente.

(c)

Extremos absolutos en [0, 2)

Como , f(x) no está acotada superiormente por y tanto no tiene máximo absoluto.

Recordamos que los extremos absolutos se podían alcanzar en los puntos donde la función no era continua, no era derivable o en los extremos del intervalo [0, 2).

En nuestro caso la función f(x) es continua y derivable en x ≠ 2, por tanto el único punto que nos queda es x = 0.

En x = 0 tiene un mínimo absoluto que vale f(0) = -3/2

Aunque no lo piden la gráfica de la función y la de sus asíntotas oblicua