Ejercicio 2 de la Opción B del modelo 5 de 2005
[2’5 puntos] Sea f : R → R la función definida por f (x)= x2 sen(2x). Calcula la primitiva de f cuya gráfica pasa por el punto (0, 1).
Solución
Primitiva de f(x) = x2.sen(2x) que pase por (0, 1)
F(x) = es una integral por partes
(Aplicamos )
Tomamos u = x2 y dv = sen(2x)dx, con lo cual du = 2xdx y v = = [- cos(2x)] / (2)
F(x) = = (x2). [- cos(2x)] / (2) + (1/2).=
= - x2.cos(2x) / (2) + = = - x2.cos(2x) / (2) + I
I = vuelve a ser una integral pospartes
Tomamos u = x y dv = cos(2x)dx, con lo cual du = dx y v = = [ sen(2x)] / (2)
I = = x.sen(2x) / (2) - (1/2).= = x.sen(2x) / (2) + cos(2x) / (4).
Por tanto F(x) = = - x2.cos(2x) / (2) + I =
= - x2.cos(2x) / (2) + x.sen(2x) / (2) + cos(2x) / (4) + K
Como F(0) = 1, tenemos 1 = 0 + 0 + cos(0) / 4 + K = 1/4 + K, de donde K = 3/4