Germán Jesús Rubio Luna   " g.j.rubio@telefonica.net "    Catedrático de Matemáticas del IES Francisco Ayala de Granada 

    Ejercicio 2 de la Opción B del modelo 5 de 2005

[2’5 puntos] Sea f : R → R la función definida por f (x)= x2 sen(2x). Calcula la primitiva de f cuya gráfica pasa por el punto (0, 1).

Solución

Primitiva de f(x) = x2.sen(2x) que pase por (0, 1)

F(x) = es una integral por partes

(Aplicamos )

Tomamos u = x2 y dv = sen(2x)dx, con lo cual du = 2xdx y v = = [- cos(2x)] / (2)

F(x) = = (x2). [- cos(2x)] / (2) + (1/2).=

= - x2.cos(2x) / (2) + = = - x2.cos(2x) / (2) + I

I = vuelve a ser una integral pospartes

Tomamos u = x y dv = cos(2x)dx, con lo cual du = dx y v = = [ sen(2x)] / (2)

I = = x.sen(2x) / (2) - (1/2).= = x.sen(2x) / (2) + cos(2x) / (4).

Por tanto F(x) = = - x2.cos(2x) / (2) + I =

= - x2.cos(2x) / (2) + x.sen(2x) / (2) + cos(2x) / (4) + K

Como F(0) = 1, tenemos 1 = 0 + 0 + cos(0) / 4 + K = 1/4 + K, de donde K = 3/4