Considera el sistema de ecuaciones

x + my + z = 0

x + y + mz = 2

mx + y + z = m

(a) [1 punto] ¿Para qué valor de m el sistema tiene al menos dos soluciones?

(b) [1’5 puntos] ¿Para qué valores de m el sistema admite solución en la que x = 1?

x + my + z = 0

x + y + mz = 2

mx + y + z = m

(a)

Sea A = la matriz de los coeficientes y A ^* =la matriz ampliada.

Si el sistema tiene al menos dos soluciones nos dice que tiene infinitas soluciones, por lo tanto por el Teorema de Rouche, rango(A) = rango(A ^* ) < 3, luego el determinante de A tiene que ser cero.

|A| =

= (m + 2). (m + 2).(1). =

= (m + 2)(1 – m)²

Igualándolo a cero (2 + m)(1 – m)² = 0, de donde m = 1 (doble) y m = - 2. Por tanto para m ≠ 1 y m ≠ -2 el sistema tiene solución única.

Lo estudiamos ahora para m = 1 y m = - 2

La matriz de los coeficientes y la matriz ampliada son A = y A ^* =.

Vemos que rango(A) = 1

En A^* como = 2 -1 = 1 ≠ 0, rango(A^*) = 2.

Como rango(A) = 1 ≠ rango(A^*) = 2, el sistema no tiene solución.

La matriz de los coeficientes y la matriz ampliada son A = y A ^* =.

En A como = 1 +2 = 3 ≠ 0, rango(A) = 2.

En A^* como = (-2)(2 – 2) = 0, rango(A^*) = 2.

Como rango(A) = rango(A^*) = 2, el sistema tiene infinitas soluciones, y por tanto dos como me pide el problema.

(b)

¿Para qué valores de m el sistema admite solución en la que x = 1?

Si x = 1 el sistema es

1 + my + z = 0

1 + y + mz = 2

m + y + z = m, es decir

my + z = - 1

y + mz = 1

y + z = 0,

Sea B = la matriz de los coeficientes y B ^* =la matriz ampliada.

Como máximo rango(B) = 2, por tanto para que el sistema tenga solución con x = 1. rango(B^*) = 2 con lo cual det(B^*) = |B^*| = 0

det(B^*) = | B^*| = = 0, sea cual sea el valor de m, al tener dos filas proporcionales.

Por tanto si x = 1 el sistema siempre tiene solución sea cual sea el valor de m. (Excluimos por supuesto el caso de m = 1, pues ya habíamos visto que en este caso el sistema original era incompatible).