(a) [1’25 puntos] Calcula b.

(b) [1’25 puntos] Halla la ecuación del plano que contiene a las rectas r y s.

(a)

Las rectas r ≡ y s ≡ están contenidas en un mismo plano

Tomamos de cada recta un punto y un vector.

De r punto A(1, -1, b) y vector director u = (1, -1, 1)

De s punto B y vector director v

Para el punto B tomo x = 0 con lo cual z = 1 e y = - 2 . Punto B(0, -2, 1)

Como vector v tomo el producto vectorial de los vectores normales de cada uno de los planos que forman la recta, el (1, -1, 1) y el (6, 0, 2).

v = = i(-2) – j(-4) + k(6) = (-2, 4, 6)

Si las rectas r y s están en el mismo plano, como sus vectores u y v directores no son proporcionales, tiene que ocurrir que det (AB, u, v) = 0

AB = (-1, -1, 1 – b)

det (AB, u, v) = =

= = (-1)(-8 - 4b -12 + 6b) = -2b + 20 = 0, de donde b =10.

La recta r es para que ambas rectas estén en el mismo plano

(b)

Ponemos ambas rectas en paramétricas con parámetros distintos

r ≡ y s ≡

El plano que contiene a las rectas r y s, como están en el mismo plano tiene como punto el punto Q intersección de ambas rectas y como vectores el u de la recta r y el v de la recta s.

Para calcular el punto Q igualamos ambas rectas y resolvemos el sistema

x = x, y = y, z = z. En nuestro caso

1 + t = -2m

-1 – t = -2 + 4m

10 + t = 1 + 6m

Resolvemos las dos primeras

1 + t = -2m

-1 – t = -2 + 4m; sumando

0 = -2 + 2m, de donde m = 1 y t = -3

Veamos que verifica la tercera ecuación

10 + (-3) = 1 + 6(1), lo cual es cierto.

El punto Q intersección es Q( -2(1), -2 + 4(1), 1 + 6(1) ) = Q(-2, 2, 7)

El plano pedido es det (QX, u, v) = =

= (x + 2)(-10) – (y – 2)(8) + (z – 7)(2) = -10x – 8y + 2z – 18= 0