[2'5 puntos] De la función f : R → R definida por f (x) = ax³ + bx² + cx + d se sabe que tiene un máximo en x = -1, y que su gráfica corta al eje OX en el punto de abscisa x = -2 y tiene un punto de inflexión en el punto de abscisa x = 0. Calcula a, b, c y d sabiendo, además, que la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 2 tiene pendiente 9.

f (x) = ax³ + bx² + cx + d tiene por dominio R, por tanto es continua y derivable las veces que nos haga falta en R .

x = - 1 es un máximo, por tanto f ‘(-1) = 0

La gráfica corta al eje OX en x = -2, por tanto f(-2) = 0

x = 0 es un punto de inflexión, por tanto f ‘’(0) = 0

La recta tangente en x = 2 tiene de pendiente 9, por tanto f ‘(2) = 9

f (x) = ax³ + bx² + cx + d

f ‘(x) = 3ax² + 2bx + c

f ‘’(x) = 6ax + 2b

De f ‘’(0) = 0, tenemos 0 = 0 + 2b, de donde b = 0

De f ‘(-1) = 9, tenemos 0 = 3a(-1)² + c, de donde 3a + c = 0

De f ‘(2) = 9, tenemos 9 = 3a(2)² + c, de donde 12a + c = 9

Restando estas dos últimas ecuaciones tenemos 9a = 9 de donde a = 1

Entrando con a = 1 en 3a + c = 0, nos resulta c = -3

De f (-2) = 0, tenemos 0 = 1(-2)³ + 0 + (-3)(-2) + d, de donde d = 2

Por tanto los números pedidos son a = 1, b = 0, c = -3 y d = 2