Ejercicio n°
1 de la opción B de junio de 2005
Ejercicio n°
1 de la opción B de junio de 2005
Sea f la función definida para x
≠
0 por f(x) =
(a) [1 punto] Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de f.
(b) [1 punto] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f y calcula sus extremos relativos o locales (puntos en los que se obtienen y valores que alcanza la función).
(c) [0’5 puntos] Esboza la gráfica de f
Solución
(a)
f(x) =
Como 
, x = 0 es una asíntota vertical de f(x) (A.V.)
Como tenemos un cociente en el cual el grado del numerador es uno mas que el del denominador, tenemos una asíntota oblicua (A.O.) y = mx + n de f(x), y es la misma en +
∞ y en - ∞ , donde
y
Luego la asíntota oblicua es y = x
Veamos la posición relativa de f(x) respecto a la A.O.
Como 
, f(x) está por encima de la A.O. en +
∞
Como 
, f(x) está por debajo de la A.O. en -
∞
(b)
Para estudiar la monotonía veamos la 1ª derivada
f(x) =
Resolvemos f ‘(x) = 0, luego x2 – 1 = 0 y las soluciones son x = +1 y x = -1 que pueden ser los posibles máximos y mínimos
Como f ‘(-2) =3/4 > 0, f(x) es creciente en (- ∞ , -1)
No podemos sustituir en la 1ª derivada x = 0 porque x = 0 es una A.V.
Como f ‘(-0’5) = -0’75/0’25 < 0, f(x) es decreciente en (-1,0) unión (0, +1)
Por definición x = -1 es un máximo relativo de f(x) que vale f(-1) = 2/(-1) = -2
Como f ‘(2) = 3/4 > 0, f(x) es creciente en (1, + ∞ )
Por definición x = 1 es un mínimo relativo de f(x) que vale f(1) = 2/(1) = 2
(c)
Un esbozo de la gráfica es
