Se sabe que las dos gráficas del dibujo corresponden a la función f : R → R definida por f (x) = x²e^x y a su función derivada f '.

(a) [1 punto] Indica, razonando la respuesta, cuál es la gráfica de f y cuál la de f'.

(b) [1'5 puntos] Calcula el área de la región sombreada.

(a)

f (x) = x²e^x

Esta función tiene por dominio R, es continua y derivable las veces que nos haga falta en R. También vemos que esta función f(x) siempre es positiva ( f(x) > 0 ), puesto que es el producto de x² que siempre es positiva con la exponencial e^x que siempre es positiva, por tanto la gráfica de la función f(x) es la señalada con el número 2, pues está dibujada siempre por encima del eje de abscisas OX y la de su derivada f ‘(x) = 2xe^x + x²e^x es la señalada con el número 1 pues tiene partes por encima y partes por debajo del eje OX.

Vamos a ver algunos detalles mas de f(x) y de f ‘(x) para confirmarlo, aunque lo anterior creo que está suficientemente razonado.

Aplicándole la Regla de L’Hôpital tenemos

Volviéndole a aplicar la Regla de L’Hôpital , con lo cual la recta y = 0 es una asíntota horizontal (A.H.) en - ∞ , tal y como se ve en la gráfica de la figura 2.

También se observa que f(0) = 0

Ahora nos fijamos en la gráfica de la figura 1, la de la derivada f ‘(x)

Vemos que f ‘(x) > 0 en (- ∞ , -2), luego f(x) crece en (- ∞ , -2) tal y como se ve en la gráfica de la figura 2.

Vemos que f ‘(x) < 0 en (-2,,0), luego f(x) decrece en (-2, 0) tal y como se ve en la gráfica de la figura 2.

Por definición x = -2 es un máximo relativo de f(x) tal y como se ve en la gráfica de la figura 2.

Vemos que f ‘(x) > 0 en (0,+ ∞), luego f(x) crece en (0,+ ∞ ) tal y como se ve en la gráfica de la figura 2.

Por definición x = 0 es un mínimo relativo de f(x) tal y como se ve en la gráfica de la figura 2.

Vemos que f ‘(x) decrece aproximadamente en (- ∞ , -0’5), luego f ‘’(x) < 0 en (- ∞ , -0’5), y por tanto la función f(x) es cóncava (∩) en (- ∞ , -0’5), tal y como se ve en la gráfica de la figura 2.

Vemos que f ‘(x) crece aproximadamente en (-0’5, + ∞ ), luego f ‘’(x) > 0 en (-0’5, + ∞ ), y por tanto la función f(x) es convexa (U ) en (-0’5, +∞ ), tal y como se ve en la gráfica de la figura 2.

Por definición, aproximadamente x = -0’5 es un punto de inflexión de f(x), tal y como se ve en la gráfica de la figura 2.

(b)

El área pedida es

Calculamos primero la integral indefinida, que es una integral por partes, y por tanto le aplicaremos la fórmula de

Volvemos ya a la integral definida

-2[(0 – e⁰) – (-2e^-2 – e^-2)] = 2 – 6e ^–2 ≈ 1’1879 u²