Ejercicio n°
2 de la opción B de junio de 2005
Ejercicio n°
2 de la opción B de junio de 2005
Considera la función f : R → R definida por f (x) = e –x/2.
(a) [0’75 puntos] Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 0.
(b) [1’75 puntos] Calcula el área de la región acotada que está limitada por la gráfica de f, la recta de ecuación x = 2 y la recta tangente obtenida en (a).
Solución
(a)
f (x) = e –x/2.
La recta tangente en x = 0 es y – f(0) = f ‘(0)(x – 0)
f ‘(x) = e –x/2.(-1/2)
f (0) = e 0 = 1
f ‘(0) = e 0.(-1/2) = (-1/2)
La recta tangente en x = 0 es y – 1 = (-1/2)(x – 0), de donde y = (-1/2)x + 1
La recta tangente corta al eje OX en y = 0, de donde x = 2
(b)
Aunque no la piden, la gráfica de e x/2 es muy parecida a la de ex pero un poco mas abierta
Como sabemos la grafica de f(x) = e –x/2 es exactamente igual que la de e x/2 pero simétrica respecto del eje OY
Y la gráfica conjunta de f(x) = e –x/2 y de la tangente y = (-1/2)x + 1 es
Por tanto el área pedida es
= (-2e -1 +1 – 2) - (-2e 0 + 0 – 0) = (1 – 2/e) ≈ 0’2642 u2