Ejercicio n°
4 de la opción A de junio de 2005
Ejercicio n°
4 de la opción A de junio de 2005
Considera el punto P(2, 0,1) y la recta r
≡
(a) [1 punto] Halla la ecuación del plano que contiene a P y a r.
(b) [1’5 puntos] Calcula el punto simétrico de P respecto de la recta r.
Solución
(a)
Normalmente para obtener un plano a partir de una recta y un punto exterior a la recta, se toma como punto del plano un punto de la recta, el A y como vectores el director de la recta u y el AP, y el plano tiene de ecuación det(x – a, u, AP) = 0. Para ello se pone la recta en su ecuación paramétrica
Para poner la recta 
en su ecuación paramétrica, tomamos y = a
∈ R
, con lo cual tenemos x = 6 – 2a, y la recta en ecuación paramétrica es 
.
Un punto de la recta sería A(6, 0, 2) y un vector director es u = (-2, 1 , 0)
El otro vector para el plano seria el vector AP = (-4, 0, -1)
El plano pedido es
π ≡ det(x – a, u, AP) = 0 =
= (x – 6)(-1) – y(2 – 0) + (z – 2)(4) =
= -x – 2y + 4z – 2 = 0
Otra forma de hacerlo
Formamos el haz de planos que determinan la recta , que es (x + 2y – 6) +
λ(z – 2) = 0, y le imponemos la condición de que pase por el punto P(2, 0, 1), y nos queda (2+0-6) +
λ(1 – 2) = 0, de donde λ
= - 4, y el plano pedido es (x + 2y – 6) + (-4)(z – 2) = 0. Operando queda
x+2y-4z+2=0, y como vemos nos da el mismo plano.
(b)
Para calcular el punto simétrico del punto P respecto de la recta "r", calculamos la proyección ortogonal de P sobre "r" que es el punto Q, y Q es el punto medio del segmento PP’, siendo P’ el punto simétrico buscado.
Para calcular el punto Q determinamos el plano π ’ perpendicular a la recta "r" por el punto P.
El vector normal del plano n es el director de la recta u = (-2,1,0). Del apartado (a)
El plano π ’ es el producto escalar (•) del vector n con el vector x – p = (x-2, y-0, z-1) igualado a 0
π ’≡ n•(x – p) = 0 = -2(x – 2) + 1(y - 0) + 0(z - 1) = -2x + y + 4 = 0
Q es la intersección del plano π ’ con la recta "r"
La recta en su forma paramétrica es , luego
sustituyendo tenemos –2(6 – 2a) + a + 4 = 0, de donde a = 8/5 y el punto Q es Q(x,y,z) = Q(6 –2(8/5),
8/5, 2) = Q(14/5,8/5,2)
Q es el punto medio del segmento PP’
(14/5,8/5,2) = ( (x+2)/2, (y+0)/2, (z+1)/2 )
De (x+2)/2 = 14/5, obtenemos x = 18/5
De (y+0)/2 = 8/5, obtenemos y = 16/5
De (z+1)/2 = 2, obtenemos z = 3
El simétrico buscado es el punto P’(18/5, 16/5, 3)