Ejercicio n° 1 de la opción B de septiembre de 2005
Ejercicio n° 1 de la opción B de septiembre de 2005
De una función f : [0,5] → R se sabe que f(3) = 6 y que su función derivada está dada por
(a) [1 punto] Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 3.
(b) [1’5 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f y calcula sus extremos relativos o locales (puntos en los que se obtienen y valores que alcanza la función).
Solución
(a)
La recta tangente a la gráfica de la función f en el punto de abscisa x = 3 es
y – f(3) = f ‘(3)(x – 3)
Nos dan f(3) = 6, y de la función derivada tenemos f ‘(3) = 32 -6(3) + 8 = -1, luego la recta pedida en forma punto pendiente es y – 6 = -1(x – 3)
(b)
La función derivada f ‘(x) es continua en (0,5) puesto que
, siendo el 1 el único punto dudoso.
Los máximos y mínimos relativos salen de las posibles soluciones de f ‘(x) = 0
Si 0 < x < 1, f ‘(x) = 5x – 2 = 0, de donde x = 2/5
Si 1 ≤ x < 5, f ‘(x) = x2 – 6x + 8 = 0, de donde x = 2 y x = 4
x = a es un máximo relativo si f ‘(a) = 0 y f ‘’(a) < 0
x = a es un mínimo relativo si f ‘(a) = 0 y f ‘’(a) > 0
En nuestro caso 
luego:
Como f ‘’(2’5) = 5 > 0, x = 2/5 es un mínimo relativo
Como f ‘’(2) = -2 < 0, x = 2 es un máximo relativo
Como f ‘’(4) = 2 > 0, x = 4 es un mínimo relativo
Teniendo en cuenta lo anterior y que la función f(x) es continua, puesto que entre otras razones su derivada también lo es, tenemos que:
f(x) es decreciente en (0,2/5) U (2,4)
f(x) es creciente en (2/5,2) ∩ (4,5)
Para ver los valores que alcanzan los extremos relativos tenemos que calcular f(x).
Vamos a calcular f(x)
Como f ‘(x) es continua podemos aplicarle el teorema fundamental del cálculo integral que dice: si g(x) es una función continua en el intervalo cerrado [a,b], entonces la función 
es derivable y su derivada es la función g(x), en nuestro caso tenemos:
Si 0 ≤ x < 1, 
Si 1 ≤ x ≤ 5, 
Como f(3) = 6, 6 = 27/3 – 27 + 24 + L, de donde L = 0
Como f(x) es continua en x = 1, 
Igualándolo tenemos 
, de donde K = 29/6, luego la función es:
Veamos ya los valores de f(x) en los extremos relativos 2/5, 2 y 4.
f(2/5) = 133/30 ≈ 4’433..
f(2) = 20/3 ≈ 6’666..
f(4) = 16/3 ≈ 5’333..