Ejercicio n° 2 de la opción A de septiembre de 2005
Ejercicio n° 2 de la opción A de septiembre de 2005
Sea f: R → R la función definida por f(x) = (x – 1)2.e –x.
(a) [0’5 puntos] Halla las asíntotas de la gráfica de f.
(b) [1’5 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f y calcula, si existen, sus extremos relativos o locales y sus extremos absolutos o globales (puntos en los que se obtienen y valores que alcanza la función).
(a) [0’5 puntos] Esboza la gráfica de f.
Solución
(a)
f(x) = (x – 1)2.e –x = (x – 1)2/e x.
No tiene asíntotas verticales puesto que el denominador e x es una función exponencial que siempre es positiva y no se anula nunca y por tanto no existe ningún número "a" tal que 
.
Tiene la asíntota horizontal y = 0 en 
puesto que
[ La regla de L’Hôpital nos dice que si f(x) y g(x) son funciones continuas en [a-m, a+m], derivables en (a-m, a+m), verificando 
y existiendo 
, entonces se demuestra que 
. Se demuestra que la Regla es válida cuando x
→
Como tiene una asíntota horizontal no puede tener asíntotas oblicuas.
(b)
Tenemos que estudiar la monotonía lo cual podemos hacerlo estudiando su primera derivada f ‘(x)
f(x) = (x – 1)2.e –x = (x – 1)2/e x.
Veamos las raíces de f ‘(x) =0, es decir las soluciones de e x(x – 1 )(- x + 3) = 0.
Como e x siempre es positivo nos queda (x – 1 )(- x + 3) = 0, de donde x = 1 y x = 3, que serán los posibles máximos o mínimos relativos.
Como f ‘(0) = - 3 < 0, f(x) es estrictamente decreciente en (- ∞ ,1)
Como f ‘(2) = 1/(e2) > 0, f(x) es estrictamente creciente en (1,3)
Como f ‘(4) = - 3/(e4) < 0, f(x) es estrictamente decreciente en (3,+ ∞ )
Por definición x = 1 es un mínimo relativo que vale f(1) = 0
Por definición x = 3 es un máximo relativo que vale f(3) = 4/(e3) @ 0’2
Como 
Resulta que f(x) no tiene máximo absoluto puesto que en - ∞ f(x) vale + ∞ , y que x = 1 es el mínimo absoluto, además de ser el mínimo relativo, puesto que la función f(x) = (x – 1)2.e –x siempre es positiva o cero.
(c)
Un esbozo de la función, sabiendo que f(0) = 1 es
