Ejercicio n° 4 de la opción A de septiembre de 2005
Ejercicio n° 4 de la opción A de septiembre de 2005
Considera un plano
π ≡ x + y + mz = 3 y la recta r ≡ x = y – 1 = (z – 2)/2(a) [0’75 puntos] Halla m para que r y π sean paralelos.
(b) [0’75 puntos] Halla m para que r y π sean perpendiculares.
(a) [1 punto] ¿Existe algún valor de m para que la recta r esté contenida en el plano π ?.
Solución
(a)
π ≡ x + y + mz = 3 y la recta r ≡ x = y – 1 = (z – 2)/2
Un vector normal del plano es n = (1,1,m)
Un vector director de la recta es v = (1,1,2)
Un punto de la recta A(0,1,2)
Para que la recta r y el plano π sean paralelos, el vector normal del plano n = (1,1,m) y el vector director de la recta v = (1,1,2) han de ser perpendiculares, por lo tanto su producto escalar ha de ser cero.
n•v = 0 = 1 + 1 + 2m = 0, de donde m = -1
(b)
Para que la recta r y el plano π sean perpendiculares, el vector normal del plano n = (1,1,m) y el vector director de la recta v = (1,1,2) han de ser paralelos, por lo tanto sus componentes han de ser proporcionales.
1/1 = 1/1 = m/2, de donde m = 2
(c)
Si la recta está contenida en el plano, por un lado el vector normal del plano n = (1,1,m) y el vector director de la recta v = (1,1,2) han de ser perpendiculares, por lo tanto su producto escalar ha de ser cero, y ya hemos visto que m = -1 (es el caso (a) )
El plano sería π ≡ x + y - z = 3
Por otro lado al estar la recta r contenida en el plano, todos los puntos de la recta han de verificar la ecuación del plano.
Un punto de la recta era A(0,1,2), pero al sustituirlo en el plano tenemos 0 + 1 – 2 = 3, lo cual es absurdo y no se puede dar el caso de que la recta esté contenida en el plano.
(Para una observación de Aarón Rosas)
Si me pidiesen un plano paralelo a p que contenga a la recta "r" tendríamos
π1 º x + y - z = k, y después le impondríamos la condición de que pasase por el punto A(0,1,2) de la recta "r"
0 +1 - 2 = k, y dicho plano sería π1 º x + y - z = -1