(a) [1’5 puntos] Calcula las coordenadas del punto P sabiendo que está en el plano π₁ y que su proyección ortogonal sobre el plano π₂ es el punto (1,0,-3).

(b) [1 punto] Calcula el punto simétrico de P respecto del plano π₂ .

(a)

π ₁ ≡ 2x + y - z + 5 = 0   y   π ₂ ≡ x + 2y + z + 2 = 0

Para calcular el punto P del plano π ₁ pedido, consideramos la recta r perpendicular al plano π ₂ que pasa por el punto Q(1,0,-3)

Como r es perpendicular a π ₂ , el vector director de la recta v es el normal del plano n = (1,2,1)

La reta r en forma paramétrica es

El punto P pedido es la intersección de la recta r con el plano π ₁ (sustituimos la recta en el plano, obtenemos el valor de l , y de aquí el punto)

2(1 + λ) + (2λ) – (-3 + λ) +5 =0, de donde λ = -10/3 y el punto pedido es

P(1 +(-10/3), -20/3, -3 – 10/3) = P(-7/3, -20/3, -19/3)

(b)

Tal y como se ha calculado el punto P

se observa que Q es el punto medio del segmento PP’, siendo P’ el simétrico pedido

(1, 0, -3) = ( (-7/3 + x)/2, (-20/3 + y)/2, (-19/3 + z)/2 ), de donde

1 = (-7/3 + x)/2, y operando obtenemos x = 13/3

0 = (-20/3 + y)/2, y operando obtenemos y = 20/3

-3 = (-19/3 + z)/2, y operando obtenemos z = 1/3

El simétrico pedido es P’(13/3, 20/3, 1/3)