Ejercicio 1 de la Opción A del modelo 1 de 2006Germán Jesús Rubio Luna " g.j.rubio@telefonica.net " Catedrático de Matemóticas del IES Francisco Ayala de Granada
Ejercicio 1 de la Opción A del modelo 1 de 2006
Sea f : R → R la función definida por f (x) = Ln (x2 + 1), siendo Ln la función logaritmo neperiano.
(a) [1 punto] Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento y los extremos relativos de la función f (puntos donde se alcanzan y valor de la función).
(b) [1’5 puntos] Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de inflexión de abscisa negativa.
Solución
(a)
Estudiamos f ‘(x)
f ‘(x) = 2x/(x2 + 1)
f ‘(x) = 0, 2x = 0, de donde x = 0 que será el posible extremo relativo.
Si x < 0, f ‘(-1) = -2/(+) < 0, f ‘(x) < 0 por tanto f(x) decrece en x < 0
Si x > 0, f ‘(1) = 2/(+) > 0, f ‘(x) > 0 por tanto f(x) crece en x > 0
Por definición x = 0 es un mínimo relativo que vale f(0) = Ln(1) = 0
(b)
Los posibles puntos de inflexión son las soluciones de f ‘’(x) = 0
f ‘(x) = 2x/(x2 + 1)
f ‘’(x) = 
f ‘’(x) = 0, -2x2 + 2 = 0, de donde x2 = 1, es decir x = ± 1 que serán los posibles puntos de inflexión.
Me están pidiendo la recta tangente en x = - 1, que es y – f(-1) = f ‘(-1)(x – (-1))
f (x) = Ln (x2 + 1), f (-1) = Ln(2)
f ‘(x) = 2x/(x2 + 1), f ‘(-1) = -2/2 = -1
La recta tangente pedida es y – Ln(2) = -1(x + 1)