Germán Jesús Rubio Luna   " g.j.rubio@telefonica.net "    Catedrático de Matemóticas del IES Francisco Ayala de Granada

     Ejercicio 2 de la Opción A del modelo 1 de 2006

Sea f la función definida por

(a) [1 punto] Estudia la derivabilidad de f en x = 0 y, si es posible, calcula la derivada de f en dicho punto.

(b) [1’5 puntos] Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de f , el eje de abscisas y la recta x = −1.

Solución

(a)

Estudiamos primero la continuidad

ex – 1 es continua y derivable en todo R por suma de continuas, en particular en x > 0

es continua y derivable en todo R por producto de continuas, en particular en x > 0

Nos falta ver la continuidad en x = 0

Por tanto es continua en 0 y por supuesto en R

Veamos si existe f ‘(0), es decir si f ‘(0+) = f’(0-)

Como f ‘(0+) = f’(0-) = 1, existe f ‘(0) = 1

(b)

Como me piden el área del recinto limitado por la gráfica de f , el eje de abscisas y la recta x = −1 solo interviene la rama puesto que f(0) = 0 y para x > 0 la función ex – 1 sube a + ∞

La función solo corta al eje OX en x = 0, y para x < 0 está siempre debajo del eje OX, luego

Área =

Hacemos el cambio –x2 = t, de donde -2xdx = dt, es decir xdx = -dt/2

Para x = -1, t = -1

Para x = 0, t = 0

Área == (1/2)(e0 – e-1) = (1/2)(1 – 1/e) ≈ 0’3106 u2