Sea f : R → R la función definida por f (x) =

(a) [0’75 puntos] Halla el valor de a sabiendo que f es continua.

(b) [0’5 puntos] Esboza la gráfica de f .

(c) [1’25 puntos] Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de f , el eje de abscisas y las rectas x + 2 = 0 y x − 2 = 0.

(a)

f (x) =

-a/x es continua en R - {0}, en particular es continua en x < -1

x² + 1 continua en R , en particular es continua en x > -1

f(x) es continua en x = -1 si y solo si

Por tanto como la función es continua tenemos que a = 2.

(b)

f (x) =

-2/x es una hipérbola (función de proporcionalidad inversa) que se dibuja en el II y IV cuadrante. Como sabemos tiene de asuntota horizontal y = 0, y de vertical x = 0.

x² + 1 es una parábola exactamente igual que x² pero desplazada una unidad hacia arriba en el eje OY

Un esbozo de su gráfica sería

(c)

El área limitada por OX y las rectas x = -2 y x = 2 es

Área =

= (-2Ln(1)) – (-2Ln(2)) + ( 8/3 + 2) – (-1/3 – 1 ) = 2Ln(2) + 6 u²