Ejercicio 3 de la Opción B del modelo 1 de 2006Germán Jesús Rubio Luna " g.j.rubio@telefonica.net " Catedrático de Matemóticas del IES Francisco Ayala de Granada
Ejercicio 3 de la Opción B del modelo 1 de 2006
Considera el sistema de ecuaciones lineales
λx + y – z = 1
x +λy + z = λ
x + y + λz = λ2
(a) [1’5 puntos] Clasifica el sistema según los valores del parámetro λ.
(b) [1 punto] Resuélvelo para λ = 2.
Solución
(a)
λx + y – z = 1
x +λy + z = λ
x + y + λz = λ2
La matriz de los coeficientes es 
y la ampliada 
det(A) = 
0 + λ
(λ2 + λ
- λ
-1) = λ
(λ2 – 1)
|A| = 0, nos dice que λ(λ2 – 1) = 0 de donde λ = 0, λ = 1 y λ = -1
Si λ ≠ 0, λ ≠ 1 y λ ≠ -1 , rango(A) = rango(A*) = 3 por tanto el sistema es compatible y determinado y tiene solución única.
Si λ = 0
La matriz de los coeficientes es 
y la ampliada 
En A como 
-1 ≠
0, rango(A) = 2
En A* como 
1(1-0) = 1
≠
0, rango(A*) = 3
Como rango(A) = 2 ≠ rango(A*) = 3, el sistema es incompatible
Si λ = 1
La matriz de los coeficientes es 
y la ampliada 
En A como 
2 ≠
0, rango(A) = 2
En A* como 
0 por tener dos filas iguales, rango(A*) = 2
Como rango(A) = rango(A*) = 2, el sistema es compatible indeterminado y tiene infinitas soluciones que dependen de un parámetro.
Si λ = -1
La matriz de los coeficientes es 
y la ampliada 
En A como 2 ¹
0, rango(A) = 2
En A* como 
0 por tener dos columnas iguales, rango(A*) = 2
Como rango(A) = rango(A*) = 2, el sistema es compatible indeterminado y tiene infinitas soluciones que dependen de un parámetro.
(b)
Lo resolvemos para λ = 2. El sistema es
2x + y – z = 1
x +2 y + z = 2
x + y + 2z = 4. Cambiamos la 1ª ecuación por la 2ª y después 2ª + 1ª(-2) y 3ª + 1ª(-1)
x + 2y + z = 2
0 - 3y -3z = -3
0 - y + z = 2. Dividimos la 2ª por (-3) y después 3ª + 2ª
x + 2y + z = 2
0 +y +z = 1
2 z = 3. De donde z = 3/2, y = -1/2 y x = 3/2.
La solución del sistema es (x,y,z)= (3/2, -1/2, 3/2)