Sea r la recta de ecuación y s la recta de ecuación (x -1)/2 = (y + 2)/1 = z/3

(a) [1’5 puntos] Calcula el valor de a sabiendo que las rectas r y s se cortan.

(b) [1 punto] Calcula el punto de corte.

(a)

De r º tomamos un punto A(a,1,4) y un vector director u = (1,-2,-1)

De s º (x -1)/2 = (y + 2)/1 = z/3 tomamos un punto B(1,-2,0) y un vector director v = (2,1,3)

Evidentemente las rectas se cortan o se cruzan porque los vectores u y v no son proporcionales.

Las rectas se cortan si y solo si det(AB,u,v) = 0

AB = (1-a, -3,-4)

det(AB,u,v) = (1-a)(-6+1) –(-3)(3+2) + (-4)(1+4) = -10 + 5a = 0, de donde a = 2 para que las rectas se corten.

(b)

Para calcular el punto de corte ponemos ambas rectas en paramétricas con parámetros distintos e igualamos x = x, y = y y z = z

,

Ygualamos

x = x

x = y

2+t = 1+2m

1-2t = -2+m

Resolviendo este sistema obtenemos t = m = 1, lo cual verifica z = z, por tanto el punto de corte es

P( 2+(1),1-2(1),4-(1) ) = P(3,-1,3)