[2’5 puntos] Halla un punto A de la recta r de ecuación x = y = z y un punto B de la recta s de ecuación x = y/(-1) = (z + 1)/2 de forma que la distancia entre A y B sea mínima.

Veamos primero la posición relativa de las rectas r y s para lo cual tomamos un punto y un vector director de cada una de ellas.

De r punto M(0,0,0) y vector u = (1,1,1)

De s punto N(0,0,-1) y vector v = (1,-1,2)

Como los vectores u y v no son proporcionales las rectas se cortan o se cruzan.

MN = ((0,0,-1)

Si det(MN,u,v) = 0 las rectas se cortan y si det(MN,u,v) ≠ 0 las rectas se cruzan

det(MN,u,v) = (-1)(-1-1) = 2 ≠ 0, por tanto las rectas se cruzan

En realidad lo que me están pidiendo son los puntos A y B que hacen mínima la distancia entre ellas. Tomaremos un punto genérico de la recta r, el A, otro genérico de la recta s, el B, con parámetros distintos. Formaremos el vector AB y le impondremos la condición de que sea perpendicular a la vez al vector director de la recta s y de la recta r (Su productos escalares serán cero). Luego resolveremos el sistema y obtendremos los puntos pedidos

A(a,a,a);     B(b, -b, -1+2b);     AB =(b-a, -b-a, -1+2b-a)

AB· u = b-a-b-a-1+2b-a = -3a + 2b-1 = 0

AB· v = b-a+b+a-2+4b-2a = -2a + 6b-2 = 0

Resolviendo el sistema

-3a + 2b-1 = 0

-2a + 6b-2 = 0,

obtenemos de soluciones a = -1/7 y b = 2/7. Por tanto los puntos pedidos son

A(-1/7, -1/7, -1/7)     y     B(2/7, -2/7, -1+ 4/7) = B(2/7, -2/7, -3/7)

Vamos a calcular dicha distancia. (No la piden)

d(r,s)= d(A,B) = ||AB||

AB = (2/7+1/7, -2/7+1/7, -3/7+1/7) = (3/7, -1/7, -2/7)

d(r,s)= d(A,B) = ||AB|| =