Sea r la recta de ecuación (x – 5)/2 = (y+2)/(-1) = z/4 y s la recta dada por

(a) [1’5 puntos] Determina la posición relativa de ambas rectas.

(b) [1 punto] Halla la ecuación del plano que contiene a la recta r y es paralelo a la recta s.

(a)

De la recta r (x – 5)/2 = (y+2)/(-1) = z/4 tomamos un punto A(5, -2 0) y un vector director u = (2, -1, 4)

De la recta s tomamos un punto B(5, -2 0) y un vector director v

Para el punto hacemos z = 0 y nos queda el sistema

3x – 2y = 2

-x + 2y = 2, que al resolverlo nos da x = 2 e y = 2, por tanto el punto es B(x,y,z) = B(2, 2, 0)

v = i(6-2) – j(-9+1) + k(6 – 2)= (4, 8, 4)

Como los vectores u y v no son proporcionales las rectas se cortan o se cruzan. Para ver en que caso estamos tenemos que ver si es 0 o nó el determinante det(AB, u, v)

AB =(-3, 4, 0)

det(AB, u, v) = , por tanto las rectas se cruzan

(b)

Como el plano contiene a la recta r un punto del plano es A y un vector del plano es u. Como el plano es paralelo a la recta s el otro vector paralelo del plano es el v.