Germán Jesús Rubio Luna   " g.j.rubio@telefonica.net "    Catedrático de Matemóticas del IES Francisco Ayala de Granada

   Examen modelo 4 de sobrantes de 2006

Instrucciones

a) Duración: 1 hora y 30 minutos.

b) Tienes que elegir entre realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción A o bien realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción B.

c) La puntuación de cada pregunta está indicada en las mismas.

d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara.

e) Puedes usar calculadora cientνfica (no programables, sin pantalla gráfica y sin capacidad para almacenar, transmitir o recibir datos), pero todos los procesos conducentes a la obtención de resultados deben estar suficientemente justificados.

modelo 4 de sobrantes de 2006 - Opción A

Ejercicio 1. (a) [1’5 puntos] Sea f : R → R la función dada por f (x) = ax2 + b. Halla los valores de a y b sabiendo y que la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función f en el punto de abscisa 3 vale −12.

(b) [1 punto] Sea f : R → R la función dada por f (x) = x2 + p x + q. Calcula los valores de p y q sabiendo que la función f tiene un extremo en x = −6 y su valor en él es −2.

Ejercicio 2. [2’5 puntos] Calcula

Ejercicio 3. Sea

(a) [1 punto] Determina los valores de m ∈ R para los que la matriz A tiene inversa.

(b) [1’5 puntos] Para m = 0 y siendo X = ( x y z ) , resuelve X.A = ( 3 1 1 ) .

Ejercicio 4.- Sea r la recta de ecuación (x – 5)/2 = (y+2)/(-1) = z/4 y s la recta dada por

(a) [1’5 puntos] Determina la posición relativa de ambas rectas.

(b) [1 punto] Halla la ecuación del plano que contiene a la recta r y es paralelo a la recta s.

modelo 4 de sobrantes de 2006 - Opción B

Ejercicio 1. Sea f : R → R la función definida por f (x) = (x2 − x + 1)/(x2 + x + 1)

(a) [0’75 puntos] Estudia si existen y calcula, cuando sea posible, las asíntotas de la grafica de f .

(b) [1’25 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los extremos relativos y los valores que alcanza en ellos la función f .

(c) [0’5 puntos] Esboza la gráfica de f .

Ejercicio 2. [2’5 puntos] Halla el área del recinto limitado por la gráfica de la función f (x) = sen x y las rectas tangentes a dicha gráfica en los puntos de abscisas x = 0 y x = π .

Ejercicio 3. Sea y sea I la matriz identidad de orden dos.

(a) [1’25 puntos] Calcula los valores λ ∈ R tales que |A − λ I | = 0.

(b) [1’25 puntos] Calcula A2 − 7A + 10 I .

Ejercicio 4.  Considera la recta r de ecuaciones

(a) [1’25 puntos] Determina la ecuación del plano que contiene a la recta r y no corta al eje OZ .

(b) [1’25 puntos] Calcula la proyección ortogonal del punto A(1, 2, 1) sobre la recta r.