Ejercicio 4 de la Opción A del modelo 5 de 2006
Ejercicio 4 de la Opción A del modelo 5 de 2006
Considera los puntos A(2, 1, 2) y B(0, 4, 1) y la recta r de ecuación x = y − 2 = (z – 3)/2
(a) [1’5 puntos] Determina un punto C de la recta r que equidiste de los puntos A y B.
(b) [1 punto] Calcula el área del triangulo de vértices ABC.
Solución
(a)
A(2, 1, 2) y B(0, 4, 1) , r º x = y − 2 = (z – 3)/2 = a, con a ∈ R .
Tomamos un punto genérico de r, C(a, 2+a, 3+2a)
Le imponemos la condición d(A,C) = d(B, C)
AC = (a-2, a+1, 2a+1)
BC = (a, a-2, 2a+2)
d(A,C) =|| AC|| = 
d(A,C) =|| AC|| = 
Igualando y desarrollando tenemos
(a - 2)2 + a2 + 1 + 4a2 + 4a + 1 = (a - 2)2 + a2 + 4a2 + 8a + 4, de donde a = -1 y el punto es C(-1,1,1)
(b)
El área del triángulo ABC es 1/2 del área del paralelogramo que determinan los vectores AB y AC
AB = (-2,3,-1); AC = (-3,0,-1).
ABxAC =
i(-3) – j(-1) + k(9)= (-3, 1, 9)
Área = (1/2)|| ABxAC || = 