Examen modelo 5 de sobrantes de 2006

Germán Jesús Rubio Luna   " g.j.rubio@telefonica.net "    Catedrático de Matemáticas del IES Francisco Ayala de Granada

Instrucciones

a) Duración: 1 hora y 30 minutos.

b) Tienes que elegir entre realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción A o bien realizar únicamente los cuatro ejercicios de la Opción B.

c) La puntuación de cada pregunta está indicada en las mismas.

d) Contesta de forma razonada y escribe ordenadamente y con letra clara.

e) Puedes usar calculadora cientνfica (no programables, sin pantalla gráfica y sin capacidad para almacenar, transmitir o recibir datos), pero todos los procesos conducentes a la obtención de resultados deben estar suficientemente justificados.

Modelo 5 de sobrantes de 2006 - Opción A

Ejercicio 1. [2’5 puntos] Sea f : (1, + ∞ ) → R la función dada por , siendo Ln la función logaritmo neperiano. Estudia la existencia de asíntota horizontal para la gráfica de esta función.

En caso de que exista, hállala.

Ejercicio 2. Sea f : [0, 4] → R una función tal que su función derivada viene dada por

(a) [1’75 puntos] Determina la expresión de f sabiendo que f (1) = 16/3.

(b) [0’75 puntos] Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 1.

Ejercicio 3. Considera el sistema de ecuaciones lineales

x − y + z = 2

x + l y + z = 8

l x + y + l z = 10

(a) [1’5 puntos] Clasifica el sistema según los valores del parámetro λ .

(b) [1 punto] Resuelve el sistema para λ = 2.

Ejercicio 4.- Considera los puntos A(2, 1, 2) y B(0, 4, 1) y la recta r de ecuación x = y − 2 = (z – 3)/2

(a) [1’5 puntos] Determina un punto C de la recta r que equidiste de los puntos A y B.

(b) [1 punto] Calcula el área del triangulo de vértices ABC.

Modelo 5 de sobrantes de 2006 - Opción B

Ejercicio 1. Se sabe que la función f : [0, 5] → R definida por es derivable en el intervalo (0, 5).

(a) [1’75 puntos] Calcula las constantes a y b.

(b) [0’75 puntos] Halla la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 2.

Ejercicio 2. [2’5 puntos] Sean las funciones f y g : [0, +∞) → R , dadas por f (x) = x2 y , donde λ es un número real positivo fijo. Calcula el valor de λ sabiendo que área del recinto limitado por las gráficas de ambas funciones es 1/3.

Ejercicio 3. Considera las matrices     ,          y    

(a) [1 punto] Halla el valor de m ∈ R para el que la matriz A no tiene inversa.

(b) [1’5 puntos] Resuelve A X = O para m = 3.

Ejercicio 4.  [2’5 puntos] Halla la ecuación de un plano que sea paralelo al plano p de ecuación x+y+z=1 y forme con los ejes de coordenadas un triángulo de área .