Ejercicio n° 4 de la opción A de junio de 2006
Ejercicio n° 4 de la opción A de junio de 2006
Considera el plano
π de ecuación 2x + y – z + 2 = 0 y la recta r de ecuación
.
(a) [1 punto] Halla la posición relativa de r y π según los valores del parámetro m.
(b) [ 0’751 puntos] Para m = - 3, halla el plano que contiene a lo recta r y es perpendicular al plano π .
(c) [0’5 puntos] Para m = - 3, halla el plano que contiene a lo recta r y es paralelo al plano π .
Solución
(a)
Ponemos la recta "r" en paramétricas, la sustituimos en el plano y obtenemos una ecuación en un parámetro "b". Cuando exista solución para dicho parámetro la recta cortará al plano
Recta "r" , punto A(5,0,6). Vector directo u = (-2, 1, m)
Recta "r" en paramétricas 
Sustituimos la recta en el plano π
2(5 – 2b) + (b) – (6 + mb) + 2 = 0 = b(-3 - m) + 6, de donde b = 6/(3 + m) lo cual tiene solución si el denominador no es cero, es decir si m ≠ -3.
Luego para cualquier valor de m distinto de -3 la recta corta al plano en un solo punto, pues la solución de "b" es única. Sin embargo par m = -3 la recta es paralela al plano
(c)
Para m = -3 la recta es paralela al plano, luego el plano pedido es de la forma 2x + y - z + K = 0, le imponemos la condición de que pase por un punto de la recta, el A(5,0,6) y tenemos 2(5) + (0) - (6) + K = 0, de donde K = -4 y el plano pedido es 2x + y - z - 4 = 0
(b)
Lo hacemos por haz de planos a partir de la recta
Ponemos la recta "r" 
en implícitas para lo cual igualamos dos a dos.
e 
, de donde nos queda 
Formamos el haz de planos (x + 2y – 5) + b(3y + z – 6) = 0 y lo consideramos como un plano π’ de ecuación x + (2 + 3b)y + bz + (-5 – 6b) = 0 con vector normal n’ = (1, 2 + 3b, b)
El plano p de ecuación 2x + y – z + 2 = 0 tiene de vector normal n = (2,1,-1)
Como me dicen que el plano que contiene a la recta tiene que ser perpendicular al plano π , los vectores normales también son perpendiculares y su producto escalar cero, es decir.
n•n’ = 0 = (2,1,-1)•(1, 2 + 3b, b) = 2 + 2 +3b – b = 4 + 2b, de donde b = -2 y el plano pedido es (x + 2y – 5) + (-2)(3y + z – 6) = 0 = x – 4y – 2z + 7 = 0
Otra forma de hacerlo (mas sencilla) gracias a Dª Vicenta Serrano Gil
Formamos el plano pedido tomando un punto y dos vectores, el punto de la recta A(5,0,6), uno de los vectores el director de la recta u = (-2,1,-3) y otro el normal del plano n = (2,1,-1). El plano pedido se calcula resolviendo el determinante det(x - a, u, n) = 0, y obtenemos el mismo resultado x - 4y - 2z + 7 = 0