Ejercicio nº 1 de la opción A de septiembre de 2006
Ejercicio nº 1 de la opción A de septiembre de 2006
Sea f : R → R la función definida por f(x) = x2 - |x|.
(a) [0’75 puntos] Estudia la derivabilidad de f.
(b) [1 punto] Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f.
(c) [0’75 puntos] Calcula los extremos relativos de f (puntos donde se alcanzan y valor de la función).
Solución
(a)
f(x) = x2 - |x| = 
, teniendo en cuenta la definición de |x|
x2 – x es una función continua y derivable en todo R, en particular en x > 0
x2 + x es una función continua y derivable en todo R, en particular en x < 0
Veamos la continuidad de f(x) en x = 0, es decir si verifica
f(0) = 0
Como 
, la función f(x) es continua en x =0 y por tanto en todo
R
.
Estudiamos ya la derivabilidad de f(x), en particular en x =0
Veamos la derivabilidad en x = 0, es decir si f ‘(0 +) = f ‘(0 -)
Como f ‘(0 +) ≠ f ‘(0 -), f(x) no es derivable en x = 0 por lo cual es derivable en R - {0}
(b) y (c)
Para ver la monotonía estudiamos la 1ª derivada
Si x > 0, f ‘(x) = 2x – 1. Resolvemos f ‘(x) = 0 y veremos crecimiento, decrecimiento y extremos relativos.
f ‘(x) = 0, nos da 2x – 1 = 0, de donde x = 1/2 , que puede ser un posible extremo relativo.
Como f ‘(0’1) = - 0’8 < 0, f(x) es estrictamente decreciente en el intervalo (0, 1/2).
Como f ‘(1) = 1 > 0, f(x) es estrictamente creciente en el intervalo (1/2, +
∞ ).Por definición x = 1/2 es un mínimo relativo que vale f(1/2) = (1/2)2 - |1/2| = - 1/4
Si x < 0, f ‘(x) = 2x + 1.
f ‘(x) = 0, nos da 2x + 1 = 0, de donde x = -1/2 , que puede ser un posible extremo relativo.
Como f ‘(-1) = -1 < 0, f(x) es estrictamente decreciente en el intervalo (- ∞ , -1/2).
Como f ‘(- 0’1) = 0’8 > 0, f(x) es estrictamente creciente en el intervalo (- 1/2, 0).
Por definición x = - 1/2 es un mínimo relativo que vale f(- 1/2) = (- 1/2)2 - |- 1/2| = - 1/4
Por definición como en (- 1/2, 0), f(x) es estrictamente creciente y en (0, 1/2), f(x) es estrictamente decreciente, x = 0 es un máximo relativo que vale f(0) = 0. (Obsérvese que en x = 0 la función no tiene derivada).
Aunque no lo piden, un esbozo de la gráfica de la función es
