Ejercicio n°
1 de la opción B de septiembre de 2006
Ejercicio n°
1 de la opción B de septiembre de 2006
[2’5 puntos] Un alambre de longitud 1 metro se divide en dos trozos, con uno se forma un cuadrado y con el otro una circunferencia. Calcula las longitudes de los dos trozos para que la suma de las áreas de ambos recintos sea mínima.
Solución
El área del cuadrado es S1= (x/4)2 = x2/16
La longitud de la circunferencia es l = 2p r = 1 – x, de donde r = (1-x)/2p , y por tanto el área del círculo es S2 =
πr2 = π[(1-x)/2π]2 = (1/4π)(x2 – 2x + 1)La función a optimizar es la suma de las áreas
S(x) = S1 + S2 = x2/16 + (1/4π)(x2 – 2x + 1) = (1/16π)(πx2 + 4x2 – 8x + 4)
Calculamos la 1ª derivada S ‘(x), la igualamos a 0, calculamos la 2ª derivada para ver que efectivamente es un mínimo.
S ‘(x) = (1/16π)(2πx + 8x – 8)
S ‘(x) = 0, de donde(2πx + 8x – 8) = 0, y resolviéndolo sale x = 4/(π +4), que será el posible mínimo.
S ‘’(x) = (1/16π)(2π + 8), de donde S ‘’(4/(π +4)) = (1/16π)(2π + 8) > 0, por tanto x = 4/(π +4) es un mínimo.
Los trozos en que se ha dividido el alambre tienen de longitud "x" = 4/(π +4) y "1 – x" = 1 - 4/(π +4) = π/(π +4), para que las sumas de las áreas sea mínima.