Germán Jesús Rubio Luna   " g.j.rubio@telefonica.net "    Catedrático de Matemóticas del IES Francisco Ayala de Granada

      Ejercicio n° 2 de la opción B de septiembre de 2006

[2’5 puntos] Halla la función f : R → R sabiendo que f ‘’(x) = 12x – 6 y que la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa x = 2 tiene de ecuación 4x – y – 7 = 0.

Solución

f : R → R sabiendo que f ‘’(x) = 12x – 6,

El teorema fundamental del cálculo integral nos dice que si una función f(x) es continua en un intervalo [a,b], entonces la función , con x ∈ [a,b] es derivable y su derivada es F ‘(x) = f(x).

En nuestro caso y también .

6x2 – 6x + M

2x3 – 3x2 + Mx + N

Veamos cuanto valen las constantes M y N.

Como la recta y = 4x – 7 es la recta tangente a f(x) en x = 2, sabemos que f ‘(2) = 4 que es la pendiente de la recta tangente.

Además como y = 4x – 7 es la recta tangente a f(x) en x = 2, en x = 2 coinciden la ordenada de la función y la de la recta tangente, es decir f(2) = y(2)

De f ‘(2) = 4

f(x) = 2x3 – 3x2 + Mx + N

f ‘(x) = 6x2 – 6x + M

4 = f ‘(2) = 6(2)2 – 6(2) + M, con lo cual M = - 8

De f (2) = y(2)

y(2) = 4(2) – 7 = 1

f(2) = 2(2)3 – 3(2)2 – 8(2) + N

Igualando f (2) = y(2) tenemos 1 = 16 – 12 – 16 + N, con lo cual N = 13

La función pedida es f(x) = 2x3 – 3x2 – 8x + 13