Considera el sistema de ecuaciones lineales

λx – y – z = - 1

x + λy + z = 4

x + y + z = λ + 2

(a) [1’5 puntos] Clasifica el sistema según los valores del parámetro λ .

(b) [1 punto] Resuelve el sistema para λ = 2.

λx – y – z = - 1

x + λy + z = 4

x + y + z = λ + 2

(a)

La matriz de los coeficientes del sistema es y la matriz ampliada .

Calculamos el det(A) = |A|

= (desarrollamos por el adjunto 31) =

= - (λ - 1)(-1 - λ ) = (λ - 1)( 1 + λ )

Resolvemos |A| = 0, es decir (λ - 1)( 1 + λ) = 0, de donde λ = 1 y λ = -1

Si λ ≠ 1 y λ ≠ -1 , tenemos |A| ≠ 0 con lo cual rango(A) = rango(A^*) = 3, y por el teorema de Rouche el sistema es compatible y determinado y tiene solución única.

Si λ = 1, y

En A como 2 ≠ 0, tenemos rango(A) = 2

En A^* como = -2 ≠ 0, tenemos rango(A^*) = 3

Como rango(A)= 2 ≠ rango(A^*) = 3, por el teorema de Rouche el sistema es incompatible y no tiene solución.

Si λ = -1, y

En A como 2 ≠ 0, tenemos rango(A) = 2

En A^* como , por tener dos filas proporcionales, tenemos rango(A^*) = 2

Como rango(A) = rango(A^*) = 2, por el teorema de Rouche el sistema es compatible e indeterminado, teniendo infinitas soluciones que dependen de un parámetro.

(b)

Resuelve el sistema para λ = 2.

Nuestro sistema es

2x – y – z = - 1

x + 2y + z = 4

x + y + z = 4

Sumando 1ª y 3ª tenemos 3x = 3, de donde x = 1. Tomamos la 1ª y la 2ª con x = 1

2 – y – z = -1

1 + 2y + z = 4

Sumándolas tenemos 3 + y = 3, de donde y = 0.

Sustituyendo x = 1 e y = 0 en cualquier ecuación tenemos z = 3, por tanto la solución del sistema es (x,y,z) = (1, 0, 3) cuando λ = 2.

Y como vemos, se obtiene la misma solución (x,y,z) = (1, 0, 3) cuando λ = 2.