Germán Jesús Rubio Luna   " g.j.rubio@telefonica.net "    Catedrático de Matemóticas del IES Francisco Ayala de Granada

      Ejercicio n° 4 de la opción A de septiembre de 2006

[2’5 puntos] Determina los puntos de la recta r de ecuaciones que equidistan del plano π de ecuación x + z = 1 y del plano π’ de ecuación y – z = 3.

Solución

Pasamos la recta a vectorial. = , siendo "a" un parámetro, por tanto la ecuación de la recta en vectorial es (x, y, z) = (0, 1 + a, 3 + 2a) y por tanto podemos tomar como punto genérico de la recta P(0,1+a,3+2a), con a ∈ R .

Como piden los puntos que equidistan de los planos p y p ’, tenemos que d(P, π ) = d(P, π ’)

d(P, π ) =

d(P, π ’) =

Igualando ambas expresiones y simplificando tenemos |2a+2| = |-a - 5|, de donde salen las ecuaciones

2a + 2 = -a - 5         y        2a + 2 = a + 5 .

De 2a+2 = -a - 5, operando sale a = -7/3 y un punto es P(0,1-7/3,3-14/3) = P(0, -4/3, -5/3)

De 2a+2 = a + 5, operando sale a = 3 y el otro punto es P’(0,1+3,3+2(3)) = P’(0, 4, 9)