Considera los puntos A(1,0,-2) y B(-2,3,1)

(a) [1 punto] Determina los puntos del segmento AB que lo dividen en tres partes iguales

(b) [1’5 puntos] Calcula el área del triángulo de vértices A, B y C, donde C es un punto de la recta de ecuación -x = y – 1 = z. ¿Depende el resultado de la elección concreta del punto C?

(a)

A(1,0,-2) y B(-2,3,1)

Observamos la siguiente igualdad entre vectores AB = 3AM

AB = (-3,3,3)

AM = (x-1,y,z+2)

De AB = 3AM obtenemos (-3,3,3) = (3x-3,3y,3z+6), e igualando miembro a miembro se tiene x = 0, y = 1 y z = -1, es decir el punto M es M(x,y,z) = M(0,1,-1)

También se observa que el punto N es el punto medio del segmento MB, es decir

N(x,y,z)= N(-2/2, (1+3)/2, (-1+1)/2) = N(-1,2,0)

(b)

Antes de calcular el área del triángulo de vértices A, B y C ponemos la recta r en forma continua ¡¡cuidado, pues no me la han dado en forma continua!!

-x = y – 1 = z en forma continua es x/(-1) = (y-1)/1 = z/1.

Un punto de la recta es C(0,1,0) y un vector director de la recta es u = (-1,1,1)

Recordamos que el área del triángulo es 1/2 del área del paralelogramo que determinan los vectores AB y AC, y que el área del paralelogramo era el módulo del producto vectorial de dichos vectores, es decir.

Área triángulo = (1/2).||ABxAC||

AB = (-3,3,3)

AC = (-1,1,2)

ABxAC = = i(3) – j(-3) + k(0) = (3,3,0)

Área triángulo = (1/2).||ABxAC|| =

Para responder a la pregunta ¿Depende el resultado de la elección concreta del punto C? hay que recordar también que el área de un triángulo es 1/2 del producto de la base (en nuestro caso el módulo del vector AB) por la altura.

Resulta que la recta "r" que me han dado x/(-1) = (y-1)/1 = z/1 es paralela al segmento AB, puesto que el vector director de la recta es u = (-1,1,1) y el vector AB = (-3,3,3) son proporcionales.

Evidentemente el segmento AB no está contenido en la recta porque en dicho caso no se podría formar triángulo y nos resultaría el área 0.

Al ser la recta "r" paralela al segmento AB, la altura de cualquier punto C de la recta trazada sobre la recta que contiene al segmento AB siempre es la misma, por tanto el área del triángulo siempre es , independientemente del punto de la recta que tomemos.

Área = (1/2)(base)(altura) = (1/2)||AB||.h, y h no varía sea cual sea el punto C de la recta "r".

Consideramos un punto C genérico de la recta - x = y – 1 = z = a con "a" número real.

C(x,y,z) = C(-a, 1+a, a)

Si en el cálculo del área del triángulo vemos que no depende del parámetro "a", entonces el área será la misma independientemente del punto C de la recta que tomemos

A(1,0,-2) y B(-2,3,1)

Área triángulo = (1/2).||ABxAC||

AB = (-3,3,3)

AC = (-a - 1,1 + a, a + 2)

ABxAC = = i(3a+6-3-3a) – j(-3a – 6 + 3a + 3) + k(-3 -3a + 3a + 3) = (3,3,0)

Área triángulo = (1/2).||ABxAC|| = , que no depende del parámetro "a" y por tanto tampoco del punto C elegido de la recta.