Ejercicio 1 de la Opción A del modelo 3 de 2007
Ejercicio 1 de la Opción A del modelo 3 de 2007
Sea f : (0,+
∞ ) → R la función definida por f(x)= x2 Ln(x) (Ln denota la función logaritmo neperiano).(a) [1’5 puntos] Determina los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los extremos relativos de f (puntos donde se obtienen y valores que se alcanzan).
(b) [1 punto] Calcula la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f en el punto de abscisa 
Solución
(a)
Estudiamos f ‘(x)
f ‘(x) = 2xLn(x) + x2(1/x) = 2xLn(x) + x = x(2Ln(x) +1)
f ‘(x) = 0, x(2Ln(x) +1) = 0, de donde x = 0 y Ln(x) = -1/2, de donde x = e (-1/2) » 0’6 , que será el posible extremo relativo.
x = 0 no vale porque no está en el dominio.
Si x < e (-1/2), f ‘(-0’5) = -0’19 < 0, luego f ‘(x) < 0 por tanto f(x) decrece en x < e (-1/2)
Si x > e (-1/2), f ‘(1) = 1 > 0, luego f ‘(x) > 0 por tanto f(x) crece en x > e (-1/2)
Por definición x = e (-1/2) es un mínimo relativo que vale f(e (-1/2)) = e -1 . Ln(e (-1/2)) = - 1/2e
(b)
La recta tangente en 
, es y – f(e 1/2) = f ‘(e1/2)(x – e1/2)
f(x)= x2 Ln(x), f (e 1/2) = e.Ln(e 1/2) = (1/2)e
f ‘(x) = x(2Ln(x) +1), f ‘(-1) = e1/2 .(2Ln(e1/2) +1) = 2. e1/2
La recta tangente pedida es y – (1/2)e = 2. e1/2 (x – e1/2)