Ejercicio 1 de la Opción B del modelo 3 de 2007
Ejercicio 1 de la Opción B del modelo 3 de 2007
[2’5 puntos] Tenemos que fabricar dos chapas cuadradas con dos materiales distintos. El precio de cada uno de estos materiales es 2 y 3 euros por centímetro cuadrado, respectivamente. Por otra parte, la suma de los perímetros de los dos cuadrados tiene que ser 1 metro. żCómo hemos de elegir los lados de los cuadrados si queremos que el coste total sea mínimo?
Solución
Cuadrado 1: Lado x/4, perímetro x y área = (x/4)2 = x2/16
Cuadrado 2: Lado y/4, perímetro y e área = (y/4)2 = y2/16
Relación entre las variables x + y = 1
Función a optimizar A = 2.( 0'0x/4) 2 + 3.( 0'0y/4)2 = (0'0001/16)(2.x2 + 3.y2) . Sustituyendo y = 1 – x, nos queda:
A(x) = (0'0001/16)(2.x2 + 3.(1 - x)2)
Recuerdo que:
Si f ‘(a) = 0 y f ‘’(a) < 0, x = a es un máximo relativo
Si f ‘(a) = 0 y f ‘’(a) > 0, x = a es un mínimo relativo
A(x) = (0'0001/16)(2.x2 + 3.(1 - x)2)
A ´(x) = (0'0001/16)(4x + 6(1 - x)(- 1)) = (0'0001/16)(10x - 6)
A ‘(x) = 0, da10x - 6, de donde x = 6/10 = 3/5
A’’(x) =(0'0001/16)(10)
Como A ‘’(2/5) = (0'0001/16)(10) > 0, x = 3/5 es un mínimo
Si x = 3/5, y = 1 – x = 1 – 3/5 = 2/5
Los lados de los cuadrados son lado 1 = x/4 = 3/20 m. y lado 2 = y/4 = 2/20 = 1/10 m.