Ejercicio 2 de la Opción B del modelo 3 de 2007
Ejercicio 2 de la Opción B del modelo 3 de 2007
Sea f : R → R la función definida por f(x)= x(x – 3)2 .
(a) [1 punto] Calcula los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de f.
(b) [0’5 puntos] Haz un esbozo de la gráfica de f.
(c) [1 punto] Calcula el área del recinto limitado por la gráfica de f y el eje de abscisas.
Solución
(a)
Estudiamos f ‘(x), para ver donde nos saldrá el crecimiento y el decrecimiento
f ‘(x) = (x – 3)2 + x.2.(x-3) = 3x2 – 12x + 9
f ‘(x) = 0, en nuestro caso 3x2 – 12x + 9 = 0, de donde x = 1 y x = 3, que serán los posibles extremos relativos.
Si x < 1, f ‘(0) = 9 > 0, luego f ‘(x) > 0 y por tanto f(x) crece en x < 1
Si x 1 < x < 3, f ‘(2) = - 3 < 0, luego f ‘(x) < 0 y por tanto f(x) decrece en 1 < x < 3
Si x > 3, f ‘(4) = 9 > 0, luego f ‘(x) > 0 y por tanto f(x) crece en x > 3
Resumiendo f(x) crece en (-
∞ , 1) U (3, + ∞ ) y decrece en (1,3)Por definición x = 1 es un máximo relativo que vale f(1) = 4
Por definición x = 3 es un mínimo relativo que vale f(3) = 0
(b)
Para hacer un esbozo de la gráfica veamos los cortes con los ejes y el comportamiento en
± ∞Como f(0)= 0, punto (0,0)
Si f(x) = 0, obtenemos x = 0 y x = 3. Puntos de corte (0, 0) y (3, 0)
Por tanto teniendo en cuenta el apartado (a) un esbozo de la gráfica es
(c)
Área = ∫0 3 [x3 - 62 + 9x].dx = [ [(x4)/4 – 2.(x3) + (9/2)x ]0 3 = (34)/4 – 6.(27/3) + 81/2 = 27/4 u2