Ejercicio 3 de la Opción B del modelo 3 de 2007
Ejercicio 3 de la Opción B del modelo 3 de 2007
Considera el sistema de ecuaciones
x + y + z = 0
2x+ λy+ z = 2 .
x+ y+ λz = λ−1
(a) [1’5 puntos] Determina el valor de λ para que el sistema sea incompatible.
(b) [1 punto] Resuelve el sistema para λ=1.
Solución
(a)
x + y + z = 0
2x+ λy+ z = 2 .
x+ y+ λz = λ−1
La matriz de los coeficientes es 
y la ampliada 
En A como 
, el rango de (A) por lo menos es 2.
El sistema será incompatible si rango (A) = 2 ≠ rango (A* ) = 3
Para que rango (A) = 2, |A| = o
det(A) = 
(λ - 2)(
λ - 1)
De |A| = 0, obtenemos (λ - 2)(λ – 1) = 0 de donde λ = 2 y λ = 1. Luego rango(A) = 2
Para que rango (A* ) = 3, 
- 3λ + 3
Para que rango (A* ) = 3, - 3λ + 3 ≠ 0, resulta que λ ≠ 1.
Como tiene que ocurrir que λ = 2 y λ = 1 por un lado y por el otro λ ¹ 1, la única posibilidad que nos queda es λ = 2.
Se puede comprobar y ver que es incompatible con λ = 2.
(b)
Si λ = 1, ya sabemos que es compatible e indeterminado por tanto nos quedamos ya con dos ecuaciones y dos incógnitas principales
x + y + z = 0
2x + y + z = 2 .
x + y + z = 0
Nos quedamos con la 1ª y la 2ª
x + y + z = 0
2x + y+ z = 2. Restando a la 2ª la 1ª , queda x = 2
Hacemos z = m
2 + y + m = 0
4 + y + 2m = 2, de donde y = - m – 2
Solución (x, y, z) = (2, - 2 – m, m) con m
∈ R