Ejercicio 4 de la Opción A del modelo 3 de 2007
Ejercicio 4 de la Opción A del modelo 3 de 2007
Sea "r" la recta definida por 
y "s" la recta definida por 
(a) [1’25 puntos] Halla k sabiendo que las rectas r y s se cortan en un punto.
(b) [1’25 puntos] Determina la ecuación del plano que contiene a las rectas r y s.
Solución
(a)
De r
≡tomamos un punto A(2,k,0) y un vector director u = (3,4,5)
De s
≡tomamos un punto B(-2,1,3) y un vector director v = (-1,2,3)
Evidentemente las rectas se cortan o se cruzan porque los vectores u y v no son proporcionales.
Las rectas se cortan si y solo si det(AB,u,v) = 0
AB = (-4, 1-k, 3)
det(AB,u,v) = 0 = 
(- 4)(12 - 10) – (1 - k)(9+5) + (3)(6+4) = 14k + 8 = 0, de donde k = -4/7 para que las rectas se corten.
(b)
Para calcular el punto de corte C, ponemos ambas rectas en paramétricas con parámetros distintos e igualamos x = x, y = y y z = z
, 
Ygualamos, en nuestro caso x = x y z = z
2 + 3t = -2 - m
5t = 3 + 3m
Resolviendo este sistema obtenemos t = -9/14 y m = -29/14, lo cual verifica z = z, por tanto el punto de corte es
C( 2 - (-29/11), 1 + 2(-29/11), 3 + 3(-29/11) ) = C(1/14, -44/14, -45/14)
El Plano pedido es, es el que pasa por el punto de corte de las rectas y tiene como vectores paralelos independientes u y v, es decir det(x - c,u,v) = 0
det(x - c,u,v) = 0 = 
= ( x - 1/14)(12 - 10) – (y + 44/14)(9+5) + (z + 45/14)(6+4) = 2x – 14y + 10z – 12 = 0. Simplificando nos quedaría el plano x – 7y + 5z – 6 = 0