Germán Jesús Rubio Luna     " g.j.rubio@telefonica.net " Catedrático de Matemáticas del IES Francisco Ayala de Granada
    Ejercicio 4 de la Opción B del modelo 3 de 2007

[2’5 puntos] Halla la ecuación de la recta contenida en el plano de ecuación x + 2y + 3z - 1 = 0 que corta perpendicularmente a la recta definida por en el punto (2,1, - 1).

Solución (De Conchi Mérida)

Forma 1ª
Se pide calculemos una recta s contenida en el plano π y que corta a la recta r ≡ perpendicularmente en el punto P(2,1,-1)
r ≡ . En forma paramétrica es r ≡
ds = vector director de s nπ = vector normal del plano p = (1,2,3)
dr = vector director de r = (2,2,1) y Pr = punto de r = (4,3,0)
Como la recta "s" está contenida en el plano "π ", los vectores ds y np son perpendiculares.
Como "s" y "r" se cortan perpendicularmente, los vectores ds y dr. son perpendiculares Tenemos que ds es perpendicular a la vez a los vectores dr y nπ , por tanto ds es el producto vectorial de dr y nπ , es decir
ds = dr x nπ = = ( 4, -5, 2)
Como "s" pasa por el punto de intersección P(2,1,-1), su ecuación paramétrica es:
s ≡

Forma 2ª
La recta "s" pedida la vamos a dar como intersección de dos planos, uno el π y otro π ’ que será un plano perpendicular a r pasando por P (la intersección de estos planos es la recta pedida porque pasa por P (que está en ambos planos) y además es perpendicular a r porque todas las rectas del plano π ’ son perpendiculares a r)
 π ’ ^ r Þ vector normal de π ’ = nπ ’ = dr = (2,2,1) Þ π ’ : 2x + 2y + z + D = 0 pasa por P(2,1,-1)
2.2 + 2.1 + (-1) + D = 0 Þ D = -5 Þ π ’ : 2x + 2y + z - 5 = 0
La recta es s ≡