Ejercicio 1 de la Opción B del modelo 4 de 2007
Ejercicio 1 de la Opción B del modelo 4 de 2007
Sea f : R → R la función definida por f(x) = x2e -x .
(a) [1’5 puntos] Determina los extremos relativos de f (puntos donde se obtienen y valores que se alcanzan).
(b) [1 punto] Estudia y determina las asíntotas de la gráfica de f.
Solución
f(x) = x2e –x = (x2)/( e x)
(a)
Estudiamos f ‘(x)
f(x) = x2e –x
f ‘(x) = 2x. e –x + x2(-1). e –x = e –x (2x - x2)
f ‘(x) = 0, e –x (2x - x2) = 0, de donde 2x – x2 = x(2 – x) = 0, con lo cual los posibles extremos relativos serán x = 0, y x = 2. (La exponencial e –x no se anula nunca porque siempre es > 0)
Recuerdo que:
Si f ‘(a) = 0 y f ‘’(a) < 0, x = a es un máximo relativo
Si f ‘(a) = 0 y f ‘’(a) > 0, x = a es un mínimo relativo
f ‘(x) = e –x (2x - x2)
f ‘‘(x) = e –x(-1) (2x - x2) + e –x (2 -2 x) = e –x (x2 - 4x + 2)
Como f ‘’(0) = 2 > 0, x = 0 es un mínimo relativo de f(x) que vale f(0) = 0
Como f ‘’(2) = e –2 (4 - 8 + 2) < 0, x = 2 es un máximo relativo de f(x) que vale f(2) = 4/(e2) ≈ 0’54
(b)
Asíntotas verticales no tiene (no hay ningún número que anule el denominador)
[La regla de L’Hôpital (L’H) nos dice que si las funciones f(x) y g(x) son continuas y derivables en un entorno de "a", f(a) = g(a) = 0 y existe 
, entonces 
. La regla se puede reiterar, y se puede aplicar si sale 0/0,
Como 
, aplicándole la Regla de L’Hopital
. Volviéndole a aplicar la Regla de L'Hopital
, la recta y = 0 es una asíntota horizontal (A.H.) en +
∞
Como 
, f(x) está por encima de la A.H.
Como 
, no tienen A.H. en -
∞