Ejercicio 3 de la Opción A del modelo 4 de 2007
Ejercicio 3 de la Opción A del modelo 4 de 2007
[2’5 puntos] Clasifica y resuelve el siguiente sistema según los valores de a,
x + y + z = 0
(a + 1)y + 2z = y
x − 2y + (2 − a)z = 2z
Solución
x + y + z = 0 → x + y + z = 0
(a + 1)y + 2z = y → ay + 2z = 0
x − 2y + (2 − a)z = 2z → x − 2y − az = 0
Como vemos es un sistema homogéneo con matriz de los coeficientes 
Para que este sistema tenga solución distinta de la trivial (0, 0, 0) el determinante de la matriz de los coeficientes ha de ser 0, es decir |A| = 0
|A| = 
= - a2 – a + 6
Igualando a cero - a2 – a + 6 = 0, tenemos como soluciones a = 2 y a = - 3
Si a = 2 y a = - 3 el sistema es compatible e indeterminado.
Si a = 2, como rango(A) = 2, tenemos un sistema compatible indeterminado y para resolverlo solo necesitamos dos ecuaciones. Tomo las dos primeras
x + y + z = 0
2y + 2z = 0. de donde tomando z = m tenemos y = - m y x = 0
Solución (x, y, z) = (0, -m, m) con m ∈ R
Si a = - 3, como rango(A) = 2, tenemos un sistema compatible indeterminado y para resolverlo solo necesitamos dos ecuaciones. Tomo las dos primeras
x + y + z = 0
-3y + 2z = 0. de donde tomando z = m, tenemos y = (2/3) m y x = (-5/3)m
Solución (x, y, z) = ( (-5/3)m, (2/3)m, m) con m ∈ R