Ejercicio 3 de la Opción B del modelo 4 de 2007
Ejercicio 3 de la Opción B del modelo 4 de 2007
Se sabe que el sistema de ecuaciones lineales
−λx+ y+ (λ+ 1)z = λ+ 2
x + y + z = 0
(1 − λ)x− λy = 0
tiene más de una solución.
(a) [1’5 puntos] Calcula, en dicho caso, el valor de la constante λ.
(b) [1 punto] Halla todas las soluciones del sistema.
Solución
(a) y (b) (Entiendo como todas las soluciones del sistema cuando tiene infinitas soluciones)
−λx+ y+ (λ+ 1)z = λ+ 2
x + y + z = 0
(1 − λ)x− λy = 0
La matriz de los coeficientes es 
y la ampliada 
Si tiene más de una solución tiene infinitas soluciones por tanto det(A) = 0. Después para dichos valores estudiaremos el rango de A*.
det(A) =0= 
= λ (- λ -1 -1 ) = λ (- λ - 2)
|A| = 0, nos dice que l (- l - 2) = 0 de donde λ = 0 y λ = -2
Para que el sistema tenga más de una solución λ = 0 y λ = -2 , con lo cual rango(A) = 2
Si λ = 0
La matriz de los coeficientes es 
y la ampliada 
En A como 
-1 ¹ 0, rango(A) = 2
En A* como 
(2)( -1) = - 2 ¹ 0, rango(A*) = 3
Como rango(A) = 2 ¹ rango(A*) = 3, el sistema es incompatible (No es nuestro caso)
Si λ = -2
La matriz de los coeficientes es 
y la ampliada 
En A como 
1 ¹ 0, rango(A) = 2 = rango(A*), porque la última columna de A* es de ceros.
Como rango(A) = rango(A*) = 2, el sistema es compatible indeterminado y tiene infinitas soluciones que dependen de un parámetro.
Para λ = -2, nuestro sistema es
2x+ y - z = 0
x + y + z = 0
3x +2y = 0
Como solo necesitamos dos ecuaciones y dos incógnitas principales, al ser rango 2, tomo las dos primeras
2x+ y - z = 0
x + y + z = 0, tomo z = m y restando me queda x – 2m = 0, de donde x = 2m; con lo cual y = - 3m.
Solución (x,y,z) = (2m, -3m, m) con m
∈ R