Ejercicio 4 de la Opción A del modelo 4 de 2007
Ejercicio 4 de la Opción A del modelo 4 de 2007
Considera la recta r definida por 
y el plano π de
ecuación 2x − y + βz = 0. Determina α y β en cada uno de los siguientes casos:
(a) [1 punto] La recta r es perpendicular al plano
π.(b) [1’5 puntos] La recta r está contenida en el plano π.
Solución
π de ecuación 2x − y + βz = 0. Vector normal n = (2, -1, β )
r definida por . Punto A(1,0,1) y vector director u = (α , 4, 2)
(a)
Para que la recta r sea perpendicular al plano π, el vector normal del plano n y el vector director de la recta u han de ser paralelos, por tanto sus coordenadas proporcionales.
α /2 = 4/-1 = 2/β .
Igualando y operando tenemos.
De α /2 = 4/-1, obtenemos α = - 8
De 4/-1 = 2/β , obtenemos β = - 1/2
(b)
Para que la recta r esté contenida en el plano π, el punto de la recta debe pertenecer al plano y los vectores n y u han de ser perpendiculares, es decir su producto escalar valer 0.
Como n y u son perpendiculares, n
· u = ((2, -1, β )· (α , 4, 2) = 2α - 4 + 2b = 0; obtenemos 2 + β = 0, de donde β = - 2 Sustituyendo el valor de β = - 2, nos resulta α = 4